垂直振动一只盛水的圆皿，液面以驱动频率的一半作答。

下方圆皿是它的回应，在你的浏览器里实时求解——圆柱容器水面上的驻波图样。不是视频，不是艺术想象。移动驱动频率，看液面从一种图样交接到下一种。

你在看什么

1831 年，法拉第注意到一盆上下摇晃的液体，表面会长出驻波图样——而它们以摇动频率一半振荡。垂直摇动不能把液面推向侧向；它做的是每摇一次，就加强和放松一次把液面拉平的张力。摇摆图样在每个周期到达极值两次——一次波峰一次波谷——张力在两处都抓得最紧，所以两次摇动才走完图样一个完整周期。这个「二换一」就是液面以半频作答的原因：参量共振。圆柱容器里的水只能以一族自然图样振动，每个图样由两个计数标记 (m, n)：m 条辐条（横贯液面的静止线）与 n 道环（绕中心的静止圆）。以频率 f 驱动，液面选取固有频率最接近 f/2 的图样；扫动滑杆，图样逐个交接——一条模态梯——每当 f/2 落在其共振上就饱和成形。

本页呈现波的形态与起振状态——要多用力摇才能唤起图样，读数中的 onset A_c 与 drive A 给出答案。图样与频率如何计算，见下方方法注记。

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活水皿。圆柱皿中的法拉第波，俯视。水：R = 50 mm，h = 10 mm，σ = 72.8 mN/m，ρ = 1000 kg/m³，g = 9.81 m/s²。表面高程为锁定模态的 Bessel 本征函数 η ∝ J_m(k_mnr)cos(mθ)，k_mnR 取 J′_m 零点（自由接触线），固有频率由色散关系 ω²=(gk+σk³/ρ)·tanh(kh) 给出。A_c 为阻尼 Mathieu 模型起振临界（Floquet 数值积分，Lamb 1932 边界层阻尼 γ=2νk²）；低于 A_c 时页面如实显示平坦液面。成像为有符号位移场的包络显示，随真实响应周期脉动；银灰明度直接编码位移——波谷 #343B40 深、平衡 #737D84、波峰 #D6DCE0 亮、极亮反射 #F2F4F4，与真实 η 数据逐点一致，不以灯光阴影伪装正负；节点线保持盘面底色。金色 #B9A06A 只做观察焦点，默认水面零金。回放已放慢（读数中有因子）。浏览器加载时实时计算——不是录像。

图 2 · MODE CATALOGUE 模态目录

每一点，一个可被驱动的共振。

每个本征模在其共振驱动 2f₀ 处一点；横轴共振驱动频率，纵轴辐条数 m，每条斜轨是一个环数 n。虚线为当前驱动位置，实心点为当前锁定模态。目录与皿参数联动——换皿即重算。点击任意点驱动该模。

图 3 · MODE ATLAS 模态图谱

圆柱皿所能容纳的每一种自然形态。

横向读辐条 m，纵向读环 n。每一格是目录中一个自然模态 η ∝ J_m(kR·ρ)cos(mθ) 的相位 0 快照——与实时皿同一求解目录、同一 SIGNATURE 视觉语言。图谱不是「任意频率对应一张固定水纹」的图库：每个自然模态有自己的固有频率，点击任意格即驱动其共振频率 2f₀，交给与实时皿相同的渲染与选模链。

Audio 声音

把驱动频率变成可听的声音。

TONE 以当前驱动频率发声——听到的就是驱动的。MIC 取输入主频直接作为驱动频率（需 HTTPS 授权）；检测到声音 ≠ 介质形成图案。

OFF

NOTES ON THE METHOD 方法注记

一次求解，三重诚实。

01 · SOLVER 求解

物理核心

圆柱皿本征模 J_m(kr)cos(mθ)，kR 取 J′_m 零点（自由接触线）；毛细−重力色散关系定频；亚谐波选模；阻尼 Mathieu 模型 Floquet 数值积分给出起振阈值 A_c。低于 A_c，页面如实显示平坦液面。

02 · ATLAS 图谱

同一目录

实时皿、模态目录、模态图谱共用同一套模态数据与计算引擎。图谱每格是目录中一个自然模态的相位 0 快照，点击交给与实时皿相同的选模与渲染链——目录随皿参数实时重算。

03 · BOUNDARY 边界

显示即声明

起振后显示振幅按 √(A−A_c) 增长并做显示封顶——远超起振时真实液面会陡化、破碎、溅出液滴，那一线性区之外的行为不在本模型内。高阶模态含 γ0.55 可读性扩展（零点钉位、单调不变）。测量先于结论，边界构成可信。